Большая Энциклопедия Нефти и Газа. Задача безусловной оптимизации содержит

Задача безусловной оптимизации Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Оптимизация.

Оптимизация — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

Граф параболоида описанного функцией z = f(x, y) = −(x² + y²) + 4. Глобальный максимум от (x, y, z) = (0, 0, 4) обозначен синей точкой

Поиск минимума Нелдера-Мида Функции оптимизации. Симплексные вершины упорядочиваются по их значению, при этом 1 имеет наименьшее (лучшее) значение.

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.

Математическое программирование — это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.[1]

Постановка задачи оптимизации[ | код]

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ*, который доставляет минимальное значение f(χ*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:

Допустимое множество — множество X={x→|gi(x→)≤0,i=1,…,m}⊂Rn{\displaystyle \mathbb {X} =\{{\vec {x}}|\;g_{i}({\vec {x}})\leq 0,\;i=1,\ldots ,m\}\subset \mathbb {R} ^{n}};
Целевую функцию — отображение f:X→R{\displaystyle f:\;\mathbb {X} \to \mathbb {R} };
Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу f(x)→minx→∈X{\displaystyle f(x)\to \min _{{\vec {x}}\in \mathrm {X} }} означает одно из:

Показать, что X=∅{\displaystyle \mathbb {X} =\varnothing }.
Показать, что целевая функция f(x→){\displaystyle f({\vec {x}})}

ru-wiki.ru

Задачи безусловной оптимизации

Педагогика Задачи безусловной оптимизации
просмотров - 19

Тема 1. Введение (продолжение)

Лекция №2

План на летне-оздоровительный сезон

Основой для составления служит диагностическая карта͵ составленная по результатам медико-педагогического исследования детей. Здесь важно на основе диагностических данных и условий предусмотреть использование в полной мере психо-гигиенических и эколого-природных факторов спрограммировать целостный режим.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, от правильного планирования зависит система подачи знаний, выработка умений развитие и воспитание детей; назначение планирования состоит в том, чтобы обеспечить высокие конечные результаты.

Постановка и схема решения задачи

Как отмечалось ранее, задачи безусловной оптимизации имеют вид:

Такая постановка математической задачи подразумевает, что из содержания экономической задачи не вытекает никаких ограничений на допустимое множество, ᴛ.ᴇ. что .

Замечание. Понятно, что не всякая функция определена на всем пространстве , ᴛ.ᴇ. возможны случаи, что . При этом в таких случаях ограничения (физические или экономические) на естественную область определения должны вытекать из ограничений реальной экономической задачи. В противном случае построенная математическая модель будет неадекватной исследуемой экономической задаче.

Далее будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на области определения .

Схема решения задачи может выглядеть следующим образом:

10. Выясняется, имеет ли глобальный максимум (минимум) на . В случае если бы множество было непусто, ограничено и замкнуто, то можно было бы воспользоваться теоремой Вейерштрасса. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, теоремой Вейерштрасса непосредственно воспользоваться не удается. В этом случае может помочь оценка характера поведения функции при стремлении ее аргументов к бесконечности. Так, к примеру, если при значение функции стремится к , то глобального максимума (минимума) заведомо не существует.

В случае если же удается выделить ограниченное замкнутое множество , в некоторой точке которой значение функции больше (соответственно, меньше), чем в любой точке из оставшейся части множества , то она имеет глобальный максимум (соответственно, минимум) на множестве , причем он будет расположен в множестве (рис. 1). Этот вывод непосредственно вытекает из теоремы Вейерштрасса.

Рис. 1. Множество замкнуто;

В случае если выясняется, что глобального максимума (минимума) нет, то задача не имеет решения, и нужно пересмотреть ее постановку. В случае если выясняется, что глобальный максимум (минимум) существует, следует перейти к его отысканию.

20. Находятся все точки локального максимума (минимума).

30. Вычисляются значения функции во всех найденных точках локального максимума (минимума) и выбираются точки с наибольшим (наименьшим) значением функции. Οʜᴎ и составят решение задачи.

Замечание. На самом деле для нахождения точек глобального максимума (минимума) достаточно найти все стационарные точки (ᴛ.ᴇ. точки, в которых ) и выбрать те из них, в которых значение функции максимально. При этом не обязательно устанавливать наличие и вид экстремума в стационарных точках. Дело, правда, осложняется, если стационарных точек окажется бесконечное множество.

Задача - безусловная оптимизация - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Задача - безусловная оптимизация

Cтраница 2

Ясно, что критерий (2.12) относится лишь к задачам безусловной оптимизации. В задаче условной оптимизации критерий (2.12) следует заменить на критерий е-стацио-нарности, соответствующий данной задаче. [16]

Решение задач математического программирования значительно более трудоемко по сравнению с задачами безусловной оптимизации. Ограничения типа равенств или неравенств требуют их учета на каждом шаге оптимизации. [18]

Исходную задачу условной оптимизации, содержащую функции ограничений, обычно сводят к задаче безусловной оптимизации, что позволяет использовать для ее решения хорошо отработанные методы поиска безусловного экстремума, рассмотренные в предыдущих параграфах. [19]

В данном параграфе излагаются методы, относящиеся к числу наиболее эффективных способов решения задач безусловной оптимизации. В его модификациях ( квазиньютоновских алгоритмах) матрица вторых производных аппроксимируется с помощью информации о значениях градиентов функции /, и эти модификации, таким образом, являются методами первого порядка. [20]

Задача выпуклого программирования при наличии хорошего начального приближения может быть сведена к последовательности задач безусловной оптимизации. При этом сложность задач от шага к шагу не возрастает, чем предложенный метод выгодно отличается от метода штрафных функции. [21]

Эта задача методом штрафных функций в принципе с любой степенью точности сводится к задаче безусловной оптимизации. [22]

Лагранжа для того и служит, чтобы от задачи условной оптимизации перейти к задаче безусловной оптимизации по расширенному ( за счет множителей Лагранжа) набору аргументов оптимизации. [23]

Две переменных, которые должны удовлетворять условию неотрицательности, полагаются равными нулю, решается задача безусловной оптимизации, и отбираются решения, лежащие в требуемой области; эта операция производится для всевозможных выборок из неотрицательных переменных по две. [24]

Так, экстремальные задачи с ограничениями ( условно-экстремальные задачи) методом штрафных функций сводятся к задачам безусловной оптимизации, то же самое относится и к методу регуляризации. Весьма существенный раздел этой главы посвящен стабилизирующим свойствам методов градиентного типа, позволяющим находить нормальное решение некорректных задач, не прибегая к процедуре регуляризации. [25]

Таким образом, задача оптимизации для целевой функции f ( x) с ограничениями (6.13) свелась к последовательности задач безусловной оптимизации для вспомогательной функции (6.14), решение которых может быть проведено с помощью методов спуска. [26]

То есть в суррогатной двойственности ограничения (2.2) заменяются одним ограничением ( в общем случае несколькими ограничениями, но общим числом меньшим, чем / и), в то время как в лагранжевой двойственности переходят к задаче безусловной оптимизации. [27]

В этом случае получим задачу безусловной оптимизации по двум переменным. [28]

Переход к осредненной постановке предполагает, что решение задачи повторяют многократно и в качестве значения задачи принимают среднее из значений функции / о ( х) полученных при каждом единичном решении. Естественно, что при решении задачи безусловной оптимизации такой переход не эффективен, так как получить среднее значение функции / 0 большее, чем ее максимальное значение, мы не можем. В задачах же условной оптимизации переход к усредненной постановке может быть эффективным, если для каждого единичного решения вместо требования о том, чтобы х принадлежало D, потребовать, чтобы ограничения задачи выдерживались в среднем. [29]

Прежде всего заметим, что поставленная нами задача может не иметь решения. Поэтому в дальнейшем при анализе задачи безусловной оптимизации будем предполагать, что существует пексг-торая точка х, на которой достигается решение задачи. [30]

Страницы: 1 2 3

www.ngpedia.ru

Образовательный портал | 1. Задача безусловной оптимизации Методы оптимизации

Функция f (х) = 1 - х3 экстремумов не имеет. Функция f (х) = 1 - х4 имеет в точке х = 0 глобальный максимум. Функция f (х) = х4 - 4х3 + 4х2 -1 имеет в точках х = 0 и х = 2 глобальный минимум, а в точке х = 1 - локальный максимум. Функция f (х) = х^х2 - 3х1х2 - х1 + 2х2 + 5 локальных экстремумов не имеет. Функция f (х) = х3 + х23 - 3х1х2 имеет в точке х = (1,1) локальный минимум. Точка х = (1, 2, 0) является точкой локального минимума функции f (х) = 2х1 х2 х3 + х1 + х22 + х3 - 4х1 х3 - 2 х2 х3 - - 2 х1 - 4 х 2 + 4 х3 . Точка х = (2,1) является точкой локального минимума функции f (х) = х^ + х^ - 3х12 - 3х1х2 + 3х1 + 3х2 -1.

15.1 Модель с полной информациейзадача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех типов контрактов w(-). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при котором задача работника имеет решение. Это ситуация полной информации — всем все известно (о технологии, предпочтениях и производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При данном контракте w(-)
15.2.2 Дискретный вариант модели со скрытыми действиямизадачу вообще говоря, можно решать перебором. Для этого, задавшись конкретным a *, следует найти контракт w = w(a *), минимизирующий ожидаемый уровень оплаты при условии, что при данной оплате работник предпочтет (выберет) уровень усилий a *. Обозначим ожидаемый уровень оплаты m we(a, w) = Ea w = E ^asws- s=1 Тогда соответствующая вспомогательная задача имеет следующий вид: we(a *, w) ^ min w U(a
ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИзадачи) и функция f(x) (целевая функция), определенная на Х; требуется найти точки минимума или максимума функции f на Х. Задача оптимизации, в которой целевая функция подлежит минимизации, имеет вид f (х) ^ min (1 1) х е X. В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество nn которых лежит в евклидовом пространстве R . Точка х* е X называется точкой глобального минимума f(x) на
МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙзадач условной оптимизации. В данном случае ис-ходная задача условной оптимизации преобразуется в последова-тельность задач безусловной оптимизации путем введения штрафных функций. Рассмотрим задачу условной минимизации вида f (x) ^ min, xе X = {xе Rn : gt(x) задача безусловной минимизации P( x, R) = f (x) + Q(R, g (x)) ^ min, x е Rn, где P( x, R) -
методы внут-ренней точкизадач безусловной оптимизации. Для того чтобы обеспечить сходимость последовательности точек х[] к точке х , в качестве последовательности Rt, t = 0,1,2,..., для методов внутренней точки следует выбирать монотонно убывающую сходящуюся к нулю последовательность положительных чисел, т.е. Rt ^+0 при t ^^. При этом P(х, Rt) ^ f (х), x[t] ^ х*. Для вычисления Rt используется рекуррентное соотношение
СОЦИАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА ГОСУДАРСТВАзадачами социальной политика государства явля ются: ¦ Гармонизация общественных отношений, согласование ин тересов и потребностей отдельных групп населения с долговре менными интересами общества, стабилизация общественно-поли тической системы. ¦ Создание условий для повышения материального благососто яния граждан, формирование экономических стимулов для участия в общественном производстве,
4.3. Всемирная торговая организация: глобальное регулирование торговлизадачами ВТО являются либерализация международной торговли, обеспечение ее справедливости и предсказуемости, способство вание экономическому росту и повышению экономического благосостоя ния людей. Конкретной задачей ВТО является регулирование мировой торговли преимущественно тарифными методами при последовательном сокращении уровня импортных пошлин, а также устранении различных нетарифных
3.6.4 Операции коммерческих банковзадача обеспечения ликвидности баланса банка, а с помощью вкладов до востребования - получение прибыли, так как они являются самым дешевым ресурсом, поскольку затраты по обслуживанию расчетных и текущих счетов клиентов минимальные. Увеличение доли депозитов до востребования в финансовых ресурсах банка уменьшает его процентные расходы и позволяет получать более высокую прибыль от использования
1.3. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯзадачам. Целостность системы означает, что функционирование множества элементов системы подчинено единой цели. Многообразие^шшшоъ системы и различия их природы связано с их функциональной специфичностью и автономностью. Например, в материальной системе объекта, связанной с преобразованием вещественно-энергетических ресурсов, могут быть выделены такие элементы, как сырье, основные и
15.4. ФАКТОРЫ И ТИПЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТАзадачу начавшейся в середине 80-х перестройки. В и 11-й пятилетках (1975 —1980; 1981 —1986 гг.) в стране фактически прекратился экономический рост, поскольку были исчерпаны экстенсивные его факторы (прекратился приток рабочей силы, приостановился процесс добычи природных ископаемых, не росли прибыли предприятий и финан-совые ресурсы государства и т. д.). Поэтому в 1985 г. в СССР была

1piar.ru

Задачи безусловной оптимизации

Тема 1. Введение (продолжение)

Лекция №2

План на летне-оздоровительный сезон

Основой для составления служит диагностическая карта, составленная по результатам медико-педагогического исследования детей. Здесь важно на основе диагностических данных и условий предусмотреть использование в полной мере психо-гигиенических и эколого-природных факторов спрограммировать целостный режим.

Таким образом, от правильного планирования зависит система подачи знаний, выработка умений развитие и воспитание детей; назначение планирования состоит в том, чтобы обеспечить высокие конечные результаты.

Постановка и схема решения задачи

Как отмечалось ранее, задачи безусловной оптимизации имеют вид:

Такая постановка математической задачи подразумевает, что из содержания экономической задачи не вытекает никаких ограничений на допустимое множество, т.е. что .

Замечание. Понятно, что не всякая функция определена на всем пространстве , т.е. возможны случаи, что . Однако в таких случаях ограничения (физические или экономические) на естественную область определения должны вытекать из ограничений реальной экономической задачи. В противном случае построенная математическая модель будет неадекватной исследуемой экономической задаче.

Далее будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на области определения .

Схема решения задачи может выглядеть следующим образом:

10. Выясняется, имеет ли глобальный максимум (минимум) на . Если бы множество было непусто, ограничено и замкнуто, то можно было бы воспользоваться теоремой Вейерштрасса. Таким образом, теоремой Вейерштрасса непосредственно воспользоваться не удается. В этом случае может помочь оценка характера поведения функции при стремлении ее аргументов к бесконечности. Так, например, если при значение функции стремится к , то глобального максимума (минимума) заведомо не существует.

Если же удается выделить ограниченное замкнутое множество , в некоторой точке которой значение функции больше (соответственно, меньше), чем в любой точке из оставшейся части множества , то она имеет глобальный максимум (соответственно, минимум) на множестве , причем он будет расположен в множестве (рис. 1). Этот вывод непосредственно вытекает из теоремы Вейерштрасса.

Рис. 1. Множество замкнуто;

Если выясняется, что глобального максимума (минимума) нет, то задача не имеет решения, и нужно пересмотреть ее постановку. Если выясняется, что глобальный максимум (минимум) существует, следует перейти к его отысканию.

20. Находятся все точки локального максимума (минимума).

30. Вычисляются значения функции во всех найденных точках локального максимума (минимума) и выбираются точки с наибольшим (наименьшим) значением функции. Они и составят решение задачи.

Замечание. На самом деле для нахождения точек глобального максимума (минимума) достаточно найти все стационарные точки (т.е. точки, в которых ) и выбрать те из них, в которых значение функции максимально. При этом не обязательно устанавливать наличие и вид экстремума в стационарных точках. Дело, правда, осложняется, если стационарных точек окажется бесконечное множество.

studlib.info

Задачи безусловной оптимизации

Тема 1. Введение (продолжение)

Лекция №2

План на летне-оздоровительный сезон

Постановка и схема решения задачи

Как отмечалось ранее, задачи безусловной оптимизации имеют вид:

Далее будем предполагать, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на области определения .

Схема решения задачи может выглядеть следующим образом:

Рис. 1. Множество замкнуто;

20. Находятся все точки локального максимума (минимума).

studlib.info

Образовательный портал | ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методы оптимизации

Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция f(x) (целевая функция), определенная на Х; требуется найти точки минимума или максимума функции f на Х. Задача оптимизации, в которой целевая функция подлежит минимизации, имеет вид f (х) ^ min (1 1) х е X. В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество nn которых лежит в евклидовом пространстве R . Точка х* е X называется точкой глобального минимума f(x) на множестве X, или глобальным решением задачи (1.1), если f (х*) Точка х* е X называется точкой локального минимума ^х) на множестве X, или локальным решением задачи (1.1), если f (х*) 0 с центром в точке х (? - окрестность точки х ). Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно. Задача (1.1) называется задачей безусловной оптимизации, если X=Rn. На практических занятиях рассматриваются аналитические методы решения задач безусловной оптимизации, базирующиеся на условиях оптимальности. Различают необходимые условия оптимальности, т. е. условия, которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи, и достаточные условия оптимальности, т. е. условия, из которых следует, что данная точка является решением задачи.

15.1 Модель с полной информациейзадача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех типов контрактов w(-). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может выбрать любой контракт, при котором задача работника имеет решение. Это ситуация полной информации — всем все известно (о технологии, предпочтениях и производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При данном контракте w(-)
15.2.2 Дискретный вариант модели со скрытыми действиямизадачу вообще говоря, можно решать перебором. Для этого, задавшись конкретным a *, следует найти контракт w = w(a *), минимизирующий ожидаемый уровень оплаты при условии, что при данной оплате работник предпочтет (выберет) уровень усилий a *. Обозначим ожидаемый уровень оплаты m we(a, w) = Ea w = E ^asws- s=1 Тогда соответствующая вспомогательная задача имеет следующий вид: we(a *, w) ^ min w U(a
МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙзадач условной оптимизации. В данном случае ис-ходная задача условной оптимизации преобразуется в последова-тельность задач безусловной оптимизации путем введения штрафных функций. Рассмотрим задачу условной минимизации вида f (x) ^ min, xе X = {xе Rn : gt(x) задача безусловной минимизации P( x, R) = f (x) + Q(R, g (x)) ^ min, x е Rn, где P( x, R) -
методы внут-ренней точкизадач безусловной оптимизации. Для того чтобы обеспечить сходимость последовательности точек х[] к точке х , в качестве последовательности Rt, t = 0,1,2,..., для методов внутренней точки следует выбирать монотонно убывающую сходящуюся к нулю последовательность положительных чисел, т.е. Rt ^+0 при t ^^. При этом P(х, Rt) ^ f (х), x[t] ^ х*. Для вычисления Rt используется рекуррентное соотношение
1. Задача безусловной оптимизацииФункция f (х) = 1 - х3 экстремумов не имеет. Функция f (х) = 1 - х4 имеет в точке х = 0 глобальный максимум. Функция f (х) = х4 - 4х3 + 4х2 -1 имеет в точках х = 0 и х = 2 глобальный минимум, а в точке х = 1 - локальный максимум. Функция f (х) = х^х2 - 3х1х2 - х1 + 2х2 + 5 локальных экстремумов не имеет. Функция f (х) = х3 + х23 - 3х1х2 имеет в точке х = (1,1) локальный минимум. Точка х =
СОЦИАЛЬНАЯ ПОЛИТИКА ГОСУДАРСТВАзадачами социальной политика государства явля ются: ¦ Гармонизация общественных отношений, согласование ин тересов и потребностей отдельных групп населения с долговре менными интересами общества, стабилизация общественно-поли тической системы. ¦ Создание условий для повышения материального благососто яния граждан, формирование экономических стимулов для участия в общественном производстве,
4.3. Всемирная торговая организация: глобальное регулирование торговлизадачами ВТО являются либерализация международной торговли, обеспечение ее справедливости и предсказуемости, способство вание экономическому росту и повышению экономического благосостоя ния людей. Конкретной задачей ВТО является регулирование мировой торговли преимущественно тарифными методами при последовательном сокращении уровня импортных пошлин, а также устранении различных нетарифных
3.6.4 Операции коммерческих банковзадача обеспечения ликвидности баланса банка, а с помощью вкладов до востребования - получение прибыли, так как они являются самым дешевым ресурсом, поскольку затраты по обслуживанию расчетных и текущих счетов клиентов минимальные. Увеличение доли депозитов до востребования в финансовых ресурсах банка уменьшает его процентные расходы и позволяет получать более высокую прибыль от использования
1.3. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯзадачам. Целостность системы означает, что функционирование множества элементов системы подчинено единой цели. Многообразие^шшшоъ системы и различия их природы связано с их функциональной специфичностью и автономностью. Например, в материальной системе объекта, связанной с преобразованием вещественно-энергетических ресурсов, могут быть выделены такие элементы, как сырье, основные и
15.4. ФАКТОРЫ И ТИПЫ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТАзадачу начавшейся в середине 80-х перестройки. В и 11-й пятилетках (1975 —1980; 1981 —1986 гг.) в стране фактически прекратился экономический рост, поскольку были исчерпаны экстенсивные его факторы (прекратился приток рабочей силы, приостановился процесс добычи природных ископаемых, не росли прибыли предприятий и финан-совые ресурсы государства и т. д.). Поэтому в 1985 г. в СССР была

1piar.ru

Большая Энциклопедия Нефти и Газа. Задача безусловной оптимизации содержит

Задача безусловной оптимизации Википедия

Постановка задачи оптимизации[ | код]

Задачи безусловной оптимизации

Педагогика Задачи безусловной оптимизации просмотров - 19

Читайте также

Задача - безусловная оптимизация - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

Задача - безусловная оптимизация

Образовательный портал | 1. Задача безусловной оптимизации Методы оптимизации

Задачи безусловной оптимизации

Задачи безусловной оптимизации

Образовательный портал | ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Методы оптимизации

Педагогика Задачи безусловной оптимизации
просмотров - 19