ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ И Алгоритмов / Методы_оптимизации. Харчистов б ф методы оптимизации 2004

Методы оптимизации - Харчистов Б.Ф

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Б.Ф. Харчистов

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.8(075.5)

Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. − Таганрог:Изд-воТРТУ, 2004.− 140с.

Изложены основные понятия и теоретические положения курса «Методы оптимизации». Приведены алгоритмы, реализующие различные методы решения оптимизационных задач. Применение алгоритмов иллюстрировано решением примеров. Каждый раздел содержит задачи, снабженные ответами. В пособие включено индивидуальное задание, посвященное решению задачи формирования портфеля ценных бумаг. Также дана характеристика контрольных работ, используемых для текущего рей- тинг-контроля.Пособие предназначено для студентов специальностей 3514 и 0618, изучающих курс «Методы оптимизации», а также преподавателей, проводящих практические, индивидуальные занятия ирейтинг-контрольпо данному предмету.

Ил. 8. Библиогр.: 12 назв.

Печатается по решению редакционно-издательскогосовета Таганрогского государственного радиотехнического университета.

Рецензенты:

Кафедра математики и информатики Таганрогского института управления и экономики. В.П.Карелин, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой.

Я.Е.Ромм, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики Таганрогского государственного педагогического института.

Харчистов Б.Ф., 2004

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие призвано помочь студентам в изучении ряда основных методов решения оптимизационных задач, а также преподавателям при проведении практических и индивидуальных занятий по курсу «Методы оптимизации».

Всовременной литературе описано большое число методов решения оптимизационных задач, все их изложить невозможно. Поэтому в пособие включены лишь некоторые из наиболее эффективных и наиболее важных с методологической точки зрения методов.

Вразделах 1 и 2 приводятся классические методы решения оптимизационных задач, основанные на использовании дифференциального исчисления для нахождения точек экстремумов функций. В разделе 3 рассматривается одна из оптимизационных задач, обладающих специальной структурой – задача с квадратичной целевой функцией и линейными ограничениями. Разделы 4 и 5 посвящены методам одномерной минимизации, широко применяемым на практике в качестве составной части методов поиска экстремумов функций многих переменных. В разделах 6 и 7 рассматриваются численные методы безусловной оптимизации,

ав разделах 8 и 9 – численные методы условной оптимизации. Разделы 10 и 11 посвящены методам решения задач целочисленного линейного программирования.

Вкаждом разделе пособия даны краткая характеристика рассматриваемых методов, сводка рабочих формул и алгоритмы решения оптимизационных задач. Применение алгоритмов иллюстрируется решением примеров. В каждом разделе также приведены задачи, которые решаются студентами на практических занятиях или самостоятельно. Задачи снабжены ответами.

Пособие в значительной мере отражает практику преподавания предмета «Методы оптимизации» на кафедре прикладной информатики ТРТУ. Следует отметить, что в пособии отсутствует раздел, непосредственно посвященный линейному программированию, поскольку методы решения задач линейного программирования изучаются ранее в другом курсе. Однако ука-

занные методы используются при решении нелинейных задач с ограничениями и линейных целочисленных задач.

В пособие включено индивидуальное задание на тему «Задача выбора портфеля ценных бумаг», выполняемое по курсу «Методы оптимизации». В индивидуальном задании рассматриваются несколько моделей, оптимизирующих портфель ценных бумаг. В качестве критериев эффективности используются критерий максимизации ожидаемого дохода и критерий минимизации инвестиционного риска. Расчетная часть основана на гипотетических статистических данных о рынке ценных бумаг.

Текущий рейтинг-контрольосуществляется в форме контрольных работ. Структура работ, тип и количество заданий приведены в соответствующем разделе пособия. Конкретный вид целевых функций, функциональных и иных ограничений, а также другой числовой материал, используемый в контрольных работах, задается преподавателем.

По курсу используется следующее распределение рей-

тинга:

•5 контрольных работ (7% суммарного рейтинга за работу)

		−	35% суммарного рейтинга,
•	индивидуальное задание	−	15% суммарного рейтинга,
•	экзамен	−	50% суммарного рейтинга.

(1.1)

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функцияf(x) (целевая функция), определенная наХ; требуется найти точки минимума или максимума функцииf наХ. Задача оптимизации, в которой целевая функция подлежит минимизации, имеет вид

f (x)→ min,x X.

В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество которых лежит в евклидовом пространстве Rn.

Точка x X называется точкойглобального минимумаf(x) на множествеX, илиглобальным решением задачи (1.1), если

f (x )≤ f (x) при всехх Х.

Точка x X называется точкойлокального минимумаf(x) на множествеX, илилокальным решением задачи (1.1), если

	f (x* )≤ f (x) при всех			x X !V	(x ) ,
				ε
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
ε

точке x (ε - окрестность точкиx ).

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

Задача (1.1) называется задачей безусловной оптимизации, еслиX=Rn. На практических занятиях рассматриваются аналитические методы решения задач безусловной оптимизации, бази-

рующиеся на условиях оптимальности. Различают необходимые

условия оптимальности, т.е. условия, которым должна удовлетворять точка, являющаяся решением задачи, и достаточные условия оптимальности, т.е. условия, из которых следует, что данная точка является решением задачи.

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для функции одной переменной условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x R1. Если x− точка локаль-

ного оптимума (экстремума), то
f ′(x )= 0.	(1.2)

Точки, удовлетворяющие условию (1.2), называются стационарными. Стационарные точки могут быть и точками локального минимума, и точками локального максимума, и точками перегиба. Для определения характера стационарных точек используется достаточное условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть

f (x)k раз,k>1, дифференцируема в точкеx R1, причемf ′(x )= f ′′(x )= ...= f (k −1) (x )= 0,f (k) (x )≠ 0.

Тогда, если k − четное число, тоx − точка локального минимума (максимума) приf (k ) (x )> 0 (приf (k ) (x )< 0 ). Если

k − нечетное число, тоx − точка перегиба.

Используя необходимое и достаточное условия оптимальности, находятся точки локальных экстремумов. Для определения

точек глобальных экстремумов вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x). Если

V ≡ max{limf (x), limf (x)}= +∞ ,

x→∞x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Если

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)}= −∞ ,
x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Если f(x) имеет конечный глобальный максимум и (или) конечный глобальный минимум, то для их определения вычисляются также значенияf(x) на множестве точек локальных экстремумов. Наименьшее из полученных значений, т.е. значенийf(x) в точках локальных экстремумов и предельных значенийf(x),

определяет точку глобального минимума, наибольшее из полученных значений − точку глобального максимумаf(x).

Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной заключается в следующем.

1. Находится f ′(x) .

2. Вычисляются корни уравнения f ′(x) =0− стационарные точкиx(i) ,i I = {1,2,...,N }, гдеN − число стационарных точек. Полагаетсяk=2.

3. Находится f (k ) (x).

4. Вычисляются значения f (k ) (x(i) ) для всехi I.

Если f (k ) (x(i) )≠ 0 , то определяется тип стационарной точкиx(i) и ее номер исключается из множестваI.

5. Проверяется условие определения типа всех стационарных точек

I= .

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6. Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осу-

ществляется переход к п.3.

6.Вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x).

Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются.

В противном случае осуществляется переход к п.7.

7.Вычисляются значения f(x) на множестве точек локальных экстремумов. По наименьшему из полученных значенийf определяется точка глобального минимума, по наибольшему из

полученных значений f − точка глобального максимума.

Пример 1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функцииf (x)= (1− x)3.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x)= −3(1− x)2.

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

− 3(1−x)2 =0 →(1−x)2 =0	→ x	=
	(1)

Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1)

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную f(x):f ′′(x)= 6(1− x).

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :f ′′(x(1) = 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то

находим третью производную f(x):

f ′′′(x) = −6 ≠0.

Поскольку порядок k первой необращающейся в нуль в точкеx=1 производной есть нечетное число (k=3), то точкаx=1 является точкой перегиба (I= ).

Вычисляем предельные значения f(x):

lim	f (x)= lim (1− x)3	= {lim (1−x) }3 =(1− ∞)3 = −∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)3 = {lim (1− x)}3 = (1+ ∞)3 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{lim	f (x), lim	f (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞
то f(x) не имеет конечного глобального максимума.
Поскольку
	W ≡ min{ lim	f (x), lim	f (x)}= −∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Ответ: функцияf (x)= (1− x)3 экстремумов не имеет.Пример 2. Определить точки локальных и глобальных

9
экстремумов функции f (x)= (1− x)4.
Решение.
Находим первую производную f(x):
f ′(x)= −4(1− x)3.
Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :
− 4(1−x)3 =0 →(1−x)3 =0 →x		=1.
	(1)
Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1) =1.
Определяем характер стационарной точки.
Находим вторую производную f(x):
f ′′(x)=12(1− x)2.
Вычисляем значение f ′′(x)	в точке x(1) :
f ′′(x(1) =1) =0.
Поскольку характер стационарной точки не определен, то
находим третью производную f(x):
f ′′′(x)= −24(1− x).
Вычисляем значение f ′′′(x)	в точке x(1) :
f ′′′(x(1)	= 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную f(x):

f (4) (x)= 24≠ 0.

Поскольку порядок k первой необращающейся в нуль в точкеx=1 производной есть четное число (k=4) иf (4) (x)> 0 , то точкаx=1 является точкой локального минимума (I= ).

Вычисляем предельные значения f(x):
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1− x)}4	= (1− ∞)4	= ∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1−x) }4 =(1+ ∞)4 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{limf	(x), limf (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)} = +∞ ≠ −∞,
x→∞	x→−∞

то f(x) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значениеf(x) в точкеx=1:

f (x = 1)= 0.

Определяем точку глобального. минимумаf(x):

min f (x)= min{f (x = 1),W}= min{0,+ ∞ }= 0= f (x = 1).

x R1

Таким образом, точка x=1 является точкой глобального минимумаf(x).

Ответ: функция

f (x)= (1− x)4

имеет в точке x=1 глобаль-

ный минимум.

Пример 3. Определить точки

локальных и глобальных

экстремумов функции f

(x)=

1+x2

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x) =

1+x2 −x 2x

− x2

(1+ x2 )2

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

1−x2

= 0 →1−x2 =

0 →

= ±1.

(1+ x2 )2

(1,2)

Получили две стационарные точки (I = {1, 2}) :

x(1)=1, x(2)= −1.

Определяем характер стационарных точек.

Находим вторую производную f(x):

f ′′(x) =

− 2x(1+ x2 )2 − 2(1+ x2 )2x(1− x2 )

2x(x2 − 3)

(1+ x2 )4

(1+ x2 )3

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :

studfiles.net

Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации [PDF]

Учебное пособие. - Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000 г. - 105 с. В пособии изложен математический аппарат, необходимый для анализа и решения экстремальных задач в конечномерных пространствах. Содержание: Введение Линейное программирование. Задачи нелинейного программирования. Численные методы нелинейного программирования. Целочисленное линейное программирование.

1,08 МБ
дата добавления неизвестна
изменен 19.11.2008 16:41

Учебное пособие. — Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. — 90 с. В учебном пособии дано краткое изложение основных методов оптимизации и исследования операций. Материал пособия основан на лекциях, читаемых автором для студентов факультета «Информатика» и соответствует программам курсов «Методы оптимизации», «Теория игр и исследование операций», «Теория принятия...

1,73 МБ
дата добавления неизвестна
изменен 27.10.2010 11:19

Лекции. МАИ. 2005 г. - 57 стр. В RAR-архиве 10 лекций - 10 файлов PDF. Краткая теория + Примеры + Графики + Таблицы. Содержание: Теория оптимизации и численные методы оптимизации. . Основные понятия и определения. Пример. Построить линию уровня функции. Пример. Построить градиент функции в заданной точке. Критерий Сильвестра. Квадратичная функция двух переменных....

1,95 МБ
дата добавления неизвестна
изменен 23.11.2016 02:50

Учебное пособие. 2-е издание. — М.: Высшая школа, 2005. — 544 с. Рассмотрены аналитические методы решения задач поиска экстремума функций многих переменных на основе необходимых и достаточных условий. Изложены численные методы нулевого, первого и второго порядков решения задач безусловной минимизации, а также численные методы поиска условного экстремума. И т. д. В каждом...

3,09 МБ
дата добавления неизвестна
изменен 07.11.2016 01:56

Москва: СОЛОН-ПРЕСС, 2009.- 320 с. Эта книга для всех, кто, не имея специального математического образования, хочет узнать, как применять методы оптимизации для решения практических задач. В ней рассматриваются задачи оптимизации из различных сфер деятельности: экономика, финансы, техника, проектирование, строительство и др., излагаются теоретические основы методов оптимизации...

54,69 МБ
добавлен 05.07.2012 09:13
изменен 06.07.2012 23:36

Учебное пособие. — 2 изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 368 с. Книга написана на основе курсов лекций по оптимизации, которые на протяжении ряда лет читались авторами на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ. Введение в оптимизацию. Методы одномерной оптимизации. Основы выпуклого анализа. Теория необходимых и достаточных условий оптимальности. Численные...

2,89 МБ
дата добавления неизвестна
изменен 25.10.2016 14:01

www.twirpx.com

Методы оптимизации - УП - Харчистов - 2004

Б.Ф. Харчистов

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.8(075.5)

Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. − Таганрог:Изд-воТРТУ, 2004.− 140с.

Ил. 8. Библиогр.: 12 назв.

Рецензенты:

Харчистов Б.Ф., 2004

ВВЕДЕНИЕ

занные методы используются при решении нелинейных задач с ограничениями и линейных целочисленных задач.

По курсу используется следующее распределение рей-

тинга:

•5 контрольных работ (7% суммарного рейтинга за работу)

		−	35% суммарного рейтинга,
•	индивидуальное задание	−	15% суммарного рейтинга,
•	экзамен	−	50% суммарного рейтинга.

(1.1)

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

f (x)→ min,x X.

В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество которых лежит в евклидовом пространстве Rn.

Точка x X называется точкойглобального минимумаf(x) на множествеX, илиглобальным решением задачи (1.1), если

f (x )≤ f (x) при всехх Х.

Точка x X называется точкойлокального минимумаf(x) на множествеX, илилокальным решением задачи (1.1), если

	f (x* )≤ f (x) при всех			x X !V	(x ) ,
				ε
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
ε

точке x (ε - окрестность точкиx ).

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

рующиеся на условиях оптимальности. Различают необходимые

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для функции одной переменной условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x R1. Если x− точка локаль-

ного оптимума (экстремума), то
f ′(x )= 0.	(1.2)

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть

f (x)k раз,k>1, дифференцируема в точкеx R1, причемf ′(x )= f ′′(x )= ...= f (k −1) (x )= 0,f (k) (x )≠ 0.

Тогда, если k − четное число, тоx − точка локального минимума (максимума) приf (k ) (x )> 0 (приf (k ) (x )< 0 ). Если

k − нечетное число, тоx − точка перегиба.

точек глобальных экстремумов вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x). Если

V ≡ max{limf (x), limf (x)}= +∞ ,

x→∞x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Если

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)}= −∞ ,
x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

определяет точку глобального минимума, наибольшее из полученных значений − точку глобального максимумаf(x).

1. Находится f ′(x) .

3. Находится f (k ) (x).

4. Вычисляются значения f (k ) (x(i) ) для всехi I.

Если f (k ) (x(i) )≠ 0 , то определяется тип стационарной точкиx(i) и ее номер исключается из множестваI.

5. Проверяется условие определения типа всех стационарных точек

I= .

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6. Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осу-

ществляется переход к п.3.

6.Вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x).

Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются.

В противном случае осуществляется переход к п.7.

полученных значений f − точка глобального максимума.

Пример 1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функцииf (x)= (1− x)3.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x)= −3(1− x)2.

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

− 3(1−x)2 =0 →(1−x)2 =0	→ x	=
	(1)

Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1)

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную f(x):f ′′(x)= 6(1− x).

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :f ′′(x(1) = 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то

находим третью производную f(x):

f ′′′(x) = −6 ≠0.

Вычисляем предельные значения f(x):

lim	f (x)= lim (1− x)3	= {lim (1−x) }3 =(1− ∞)3 = −∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)3 = {lim (1− x)}3 = (1+ ∞)3 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{lim	f (x), lim	f (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞
то f(x) не имеет конечного глобального максимума.
Поскольку
	W ≡ min{ lim	f (x), lim	f (x)}= −∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Ответ: функцияf (x)= (1− x)3 экстремумов не имеет.Пример 2. Определить точки локальных и глобальных

9
экстремумов функции f (x)= (1− x)4.
Решение.
Находим первую производную f(x):
f ′(x)= −4(1− x)3.
Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :
− 4(1−x)3 =0 →(1−x)3 =0 →x		=1.
	(1)
Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1) =1.
Определяем характер стационарной точки.
Находим вторую производную f(x):
f ′′(x)=12(1− x)2.
Вычисляем значение f ′′(x)	в точке x(1) :
f ′′(x(1) =1) =0.
Поскольку характер стационарной точки не определен, то
находим третью производную f(x):
f ′′′(x)= −24(1− x).
Вычисляем значение f ′′′(x)	в точке x(1) :
f ′′′(x(1)	= 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную f(x):

f (4) (x)= 24≠ 0.

Вычисляем предельные значения f(x):
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1− x)}4	= (1− ∞)4	= ∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1−x) }4 =(1+ ∞)4 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{limf	(x), limf (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)} = +∞ ≠ −∞,
x→∞	x→−∞

то f(x) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значениеf(x) в точкеx=1:

f (x = 1)= 0.

Определяем точку глобального. минимумаf(x):

min f (x)= min{f (x = 1),W}= min{0,+ ∞ }= 0= f (x = 1).

x R1

Таким образом, точка x=1 является точкой глобального минимумаf(x).

Ответ: функция

f (x)= (1− x)4

имеет в точке x=1 глобаль-

ный минимум.

Пример 3. Определить точки

локальных и глобальных

экстремумов функции f

(x)=

1+x2

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x) =

1+x2 −x 2x

− x2

(1+ x2 )2

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

1−x2

= 0 →1−x2 =

0 →

= ±1.

(1+ x2 )2

(1,2)

Получили две стационарные точки (I = {1, 2}) :

x(1)=1, x(2)= −1.

Определяем характер стационарных точек.

Находим вторую производную f(x):

f ′′(x) =

− 2x(1+ x2 )2 − 2(1+ x2 )2x(1− x2 )

2x(x2 − 3)

(1+ x2 )4

(1+ x2 )3

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :

studfiles.net

Методы_оптимизации

Б.Ф. Харчистов

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.8(075.5)

Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. − Таганрог:Изд-воТРТУ, 2004.− 140с.

Ил. 8. Библиогр.: 12 назв.

Рецензенты:

Харчистов Б.Ф., 2004

ВВЕДЕНИЕ

занные методы используются при решении нелинейных задач с ограничениями и линейных целочисленных задач.

По курсу используется следующее распределение рей-

тинга:

•5 контрольных работ (7% суммарного рейтинга за работу)

		−	35% суммарного рейтинга,
•	индивидуальное задание	−	15% суммарного рейтинга,
•	экзамен	−	50% суммарного рейтинга.

(1.1)

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

f (x)→ min,x X.

В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество которых лежит в евклидовом пространстве Rn.

Точка x X называется точкойглобального минимумаf(x) на множествеX, илиглобальным решением задачи (1.1), если

f (x )≤ f (x) при всехх Х.

Точка x X называется точкойлокального минимумаf(x) на множествеX, илилокальным решением задачи (1.1), если

	f (x* )≤ f (x) при всех			x X !V	(x ) ,
				ε
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
ε

точке x (ε - окрестность точкиx ).

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

рующиеся на условиях оптимальности. Различают необходимые

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для функции одной переменной условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x R1. Если x− точка локаль-

ного оптимума (экстремума), то
f ′(x )= 0.	(1.2)

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть

f (x)k раз,k>1, дифференцируема в точкеx R1, причемf ′(x )= f ′′(x )= ...= f (k −1) (x )= 0,f (k) (x )≠ 0.

Тогда, если k − четное число, тоx − точка локального минимума (максимума) приf (k ) (x )> 0 (приf (k ) (x )< 0 ). Если

k − нечетное число, тоx − точка перегиба.

точек глобальных экстремумов вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x). Если

V ≡ max{limf (x), limf (x)}= +∞ ,

x→∞x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Если

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)}= −∞ ,
x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

определяет точку глобального минимума, наибольшее из полученных значений − точку глобального максимумаf(x).

1. Находится f ′(x) .

3. Находится f (k ) (x).

4. Вычисляются значения f (k ) (x(i) ) для всехi I.

Если f (k ) (x(i) )≠ 0 , то определяется тип стационарной точкиx(i) и ее номер исключается из множестваI.

5. Проверяется условие определения типа всех стационарных точек

I= .

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6. Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осу-

ществляется переход к п.3.

6.Вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x).

Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются.

В противном случае осуществляется переход к п.7.

полученных значений f − точка глобального максимума.

Пример 1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функцииf (x)= (1− x)3.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x)= −3(1− x)2.

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

− 3(1−x)2 =0 →(1−x)2 =0	→ x	=
	(1)

Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1)

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную f(x):f ′′(x)= 6(1− x).

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :f ′′(x(1) = 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то

находим третью производную f(x):

f ′′′(x) = −6 ≠0.

Вычисляем предельные значения f(x):

lim	f (x)= lim (1− x)3	= {lim (1−x) }3 =(1− ∞)3 = −∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)3 = {lim (1− x)}3 = (1+ ∞)3 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{lim	f (x), lim	f (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞
то f(x) не имеет конечного глобального максимума.
Поскольку
	W ≡ min{ lim	f (x), lim	f (x)}= −∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Ответ: функцияf (x)= (1− x)3 экстремумов не имеет.Пример 2. Определить точки локальных и глобальных

9
экстремумов функции f (x)= (1− x)4.
Решение.
Находим первую производную f(x):
f ′(x)= −4(1− x)3.
Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :
− 4(1−x)3 =0 →(1−x)3 =0 →x		=1.
	(1)
Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1) =1.
Определяем характер стационарной точки.
Находим вторую производную f(x):
f ′′(x)=12(1− x)2.
Вычисляем значение f ′′(x)	в точке x(1) :
f ′′(x(1) =1) =0.
Поскольку характер стационарной точки не определен, то
находим третью производную f(x):
f ′′′(x)= −24(1− x).
Вычисляем значение f ′′′(x)	в точке x(1) :
f ′′′(x(1)	= 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную f(x):

f (4) (x)= 24≠ 0.

Вычисляем предельные значения f(x):
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1− x)}4	= (1− ∞)4	= ∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1−x) }4 =(1+ ∞)4 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{limf	(x), limf (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)} = +∞ ≠ −∞,
x→∞	x→−∞

то f(x) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значениеf(x) в точкеx=1:

f (x = 1)= 0.

Определяем точку глобального. минимумаf(x):

min f (x)= min{f (x = 1),W}= min{0,+ ∞ }= 0= f (x = 1).

x R1

Таким образом, точка x=1 является точкой глобального минимумаf(x).

Ответ: функция

f (x)= (1− x)4

имеет в точке x=1 глобаль-

ный минимум.

Пример 3. Определить точки

локальных и глобальных

экстремумов функции f

(x)=

1+x2

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x) =

1+x2 −x 2x

− x2

(1+ x2 )2

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

1−x2

= 0 →1−x2 =

0 →

= ±1.

(1+ x2 )2

(1,2)

Получили две стационарные точки (I = {1, 2}) :

x(1)=1, x(2)= −1.

Определяем характер стационарных точек.

Находим вторую производную f(x):

f ′′(x) =

− 2x(1+ x2 )2 − 2(1+ x2 )2x(1− x2 )

2x(x2 − 3)

(1+ x2 )4

(1+ x2 )3

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :

studfiles.net

Образовательный портал | Методы оптимизации. 2004

ВВЕДЕНИЕ

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Необходимое условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности.

Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной

1.2. функция многих переменных

Необходимое условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности

критерий Сильвестра

Задачи

2. ЗАДАЧА УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧА УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Необходимое условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности

3. КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Задачи

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ (МИНИМИЗАЦИИ) УНИМОДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Унимодальныe функции

4.1. пассивный метод поиска минимума

4.2. активные методы поиска минимума

Метод дихотомии (половинного деления)

Метод Фибоначчи

Метод золотого сечения

Задачи

5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОЭКС-ТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Задачи

6. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ

ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ

Метод с дроблением шага

Метод наискорейшего спуска

Задачи

7. МЕТОД НЬЮТОНА

МЕТОД НЬЮТОНА

Задачи

8. МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Первый этап (первая итерация)

Второй этап (вторая итерация)

Задачи

9. МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

методы внут-ренней точки

методы внешней точки

Задачи

10. МЕТОДЫ ОТСЕЧЕНИЙ

МЕТОДЫ ОТСЕЧЕНИЙ

Задачи

11. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Задачи

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ЗАДАЧА ВЫБОРА ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций.

Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Модель 3. Минимизация инвестиционного риска при заданном среднем доходе.

2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

3. ЗАДАНИЕ

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ПОЯСНИТЕЛЬНОЙ ЗАПИСКИ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ОТВЕТЫ

1. Задача безусловной оптимизации

2. Задача условной оптимизации

3. Квадратичное программирование

4. Численные методы минимизации унимодальных функций

5. Численные методы оптимизации многоэкстремальных функций

6. Градиентные методы

7. Метод Ньютона

8. Метод аппроксимирующего программирования

9. Метод штрафных функций

10. Метод отсечений

11. Метод ветвей и границ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Оптимизация:

geum.ru

Образовательный портал | Методы оптимизации. 2004

ВВЕДЕНИЕ

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Необходимое условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности.

Алгоритм определения точек локальных и глобальных экстремумов функции одной переменной

1.2. функция многих переменных

Необходимое условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности

критерий Сильвестра

Задачи

2. ЗАДАЧА УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

ЗАДАЧА УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Необходимое условие локальной оптимальности.

Достаточное условие локальной оптимальности

3. КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

КВАДРАТИЧНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Задачи

4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ (МИНИМИЗАЦИИ) УНИМОДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Унимодальныe функции

4.1. пассивный метод поиска минимума

4.2. активные методы поиска минимума

Метод дихотомии (половинного деления)

Метод Фибоначчи

Метод золотого сечения

Задачи

5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ МНОГОЭКС-ТРЕМАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Задачи

6. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ

ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ

Метод с дроблением шага

Метод наискорейшего спуска

Задачи

7. МЕТОД НЬЮТОНА

МЕТОД НЬЮТОНА

Задачи

8. МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

МЕТОД АППРОКСИМИРУЮЩЕГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Первый этап (первая итерация)

Второй этап (вторая итерация)

Задачи

9. МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

МЕТОД ШТРАФНЫХ ФУНКЦИЙ

методы внут-ренней точки

методы внешней точки

Задачи

10. МЕТОДЫ ОТСЕЧЕНИЙ

МЕТОДЫ ОТСЕЧЕНИЙ

Задачи

11. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ

Задачи

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ «ЗАДАЧА ВЫБОРА ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ»

1. ОПИСАНИЕ ЗАДАЧИ

Модель 1. Максимизация ожидаемого дохода при ограничении на общий объем инвестиций.

Модель 2. Максимизация ожидаемого дохода при ограничениях, определяемых политикой фирмы.

Модель 3. Минимизация инвестиционного риска при заданном среднем доходе.

2. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

3. ЗАДАНИЕ

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ПОЯСНИТЕЛЬНОЙ ЗАПИСКИ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ОТВЕТЫ

1. Задача безусловной оптимизации

2. Задача условной оптимизации

3. Квадратичное программирование

4. Численные методы минимизации унимодальных функций

5. Численные методы оптимизации многоэкстремальных функций

6. Градиентные методы

7. Метод Ньютона

8. Метод аппроксимирующего программирования

9. Метод штрафных функций

10. Метод отсечений

11. Метод ветвей и границ

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Оптимизация:

1piar.ru

Методы оптимизации - Харчистов Б.Ф

Б.Ф. Харчистов

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.8(075.5)

Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации: Учебное пособие. − Таганрог:Изд-воТРТУ, 2004.− 140с.

Ил. 8. Библиогр.: 12 назв.

Рецензенты:

Харчистов Б.Ф., 2004

ВВЕДЕНИЕ

занные методы используются при решении нелинейных задач с ограничениями и линейных целочисленных задач.

По курсу используется следующее распределение рей-

тинга:

•5 контрольных работ (7% суммарного рейтинга за работу)

		−	35% суммарного рейтинга,
•	индивидуальное задание	−	15% суммарного рейтинга,
•	экзамен	−	50% суммарного рейтинга.

(1.1)

1. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

f (x)→ min,x X.

В курсе рассматриваются задачи, допустимое множество которых лежит в евклидовом пространстве Rn.

Точка x X называется точкойглобального минимумаf(x) на множествеX, илиглобальным решением задачи (1.1), если

f (x )≤ f (x) при всехх Х.

Точка x X называется точкойлокального минимумаf(x) на множествеX, илилокальным решением задачи (1.1), если

	f (x* )≤ f (x) при всех			x X !V	(x ) ,
				ε
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
где V	(x) = {x Rn :	x − x	≤ ε } − шар радиусаε>0 с центром в
ε

точке x (ε - окрестность точкиx ).

Ясно, что глобальное решение является и локальным; обратное неверно.

рующиеся на условиях оптимальности. Различают необходимые

1.1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Для функции одной переменной условия оптимальности формулируются следующим образом.

Необходимое условие локальной оптимальности. Пусть f(x) дифференцируема в точке x R1. Если x− точка локаль-

ного оптимума (экстремума), то
f ′(x )= 0.	(1.2)

Достаточное условие локальной оптимальности. Пусть

f (x)k раз,k>1, дифференцируема в точкеx R1, причемf ′(x )= f ′′(x )= ...= f (k −1) (x )= 0,f (k) (x )≠ 0.

Тогда, если k − четное число, тоx − точка локального минимума (максимума) приf (k ) (x )> 0 (приf (k ) (x )< 0 ). Если

k − нечетное число, тоx − точка перегиба.

точек глобальных экстремумов вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x). Если

V ≡ max{limf (x), limf (x)}= +∞ ,

x→∞x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Если

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)}= −∞ ,
x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

определяет точку глобального минимума, наибольшее из полученных значений − точку глобального максимумаf(x).

1. Находится f ′(x) .

3. Находится f (k ) (x).

4. Вычисляются значения f (k ) (x(i) ) для всехi I.

Если f (k ) (x(i) )≠ 0 , то определяется тип стационарной точкиx(i) и ее номер исключается из множестваI.

5. Проверяется условие определения типа всех стационарных точек

I= .

Если оно выполняется, то осуществляется переход к п.6. Если условие не выполняется, то полагается k=k+1 и осу-

ществляется переход к п.3.

6.Вычисляются предельные (при x → ∞ иx → −∞ ) значенияf(x).

Если f(x) не имеет конечных глобальных экстремумов, то вычисления прекращаются.

В противном случае осуществляется переход к п.7.

полученных значений f − точка глобального максимума.

Пример 1. Определить точки локальных и глобальных экстремумов функцииf (x)= (1− x)3.

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x)= −3(1− x)2.

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

− 3(1−x)2 =0 →(1−x)2 =0	→ x	=
	(1)

Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1)

Определяем характер стационарной точки.

Находим вторую производную f(x):f ′′(x)= 6(1− x).

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :f ′′(x(1) = 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то

находим третью производную f(x):

f ′′′(x) = −6 ≠0.

Вычисляем предельные значения f(x):

lim	f (x)= lim (1− x)3	= {lim (1−x) }3 =(1− ∞)3 = −∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)3 = {lim (1− x)}3 = (1+ ∞)3 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{lim	f (x), lim	f (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞
то f(x) не имеет конечного глобального максимума.
Поскольку
	W ≡ min{ lim	f (x), lim	f (x)}= −∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального минимума.

Ответ: функцияf (x)= (1− x)3 экстремумов не имеет.Пример 2. Определить точки локальных и глобальных

9
экстремумов функции f (x)= (1− x)4.
Решение.
Находим первую производную f(x):
f ′(x)= −4(1− x)3.
Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :
− 4(1−x)3 =0 →(1−x)3 =0 →x		=1.
	(1)
Получили одну стационарную точку (I = {1})x(1) =1.
Определяем характер стационарной точки.
Находим вторую производную f(x):
f ′′(x)=12(1− x)2.
Вычисляем значение f ′′(x)	в точке x(1) :
f ′′(x(1) =1) =0.
Поскольку характер стационарной точки не определен, то
находим третью производную f(x):
f ′′′(x)= −24(1− x).
Вычисляем значение f ′′′(x)	в точке x(1) :
f ′′′(x(1)	= 1)= 0.

Поскольку характер стационарной точки не определен, то находим четвертую производную f(x):

f (4) (x)= 24≠ 0.

Вычисляем предельные значения f(x):
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1− x)}4	= (1− ∞)4	= ∞,
x→∞	x→∞	x→∞
lim	f (x)= lim (1− x)4	= {lim (1−x) }4 =(1+ ∞)4 = ∞.
x→−∞	x→−∞	x→−∞
Поскольку
	V ≡ max{limf	(x), limf (x)}= +∞ ,
	x→∞	x→−∞

то f(x) не имеет конечного глобального максимума. Поскольку

W ≡ min{ limf (x),	lim f (x)} = +∞ ≠ −∞,
x→∞	x→−∞

то f(x) имеет конечный глобальный минимум. Вычисляем значениеf(x) в точкеx=1:

f (x = 1)= 0.

Определяем точку глобального. минимумаf(x):

min f (x)= min{f (x = 1),W}= min{0,+ ∞ }= 0= f (x = 1).

x R1

Таким образом, точка x=1 является точкой глобального минимумаf(x).

Ответ: функция

f (x)= (1− x)4

имеет в точке x=1 глобаль-

ный минимум.

Пример 3. Определить точки

локальных и глобальных

экстремумов функции f

(x)=

1+x2

Решение.

Находим первую производную f(x):

f ′(x) =

1+x2 −x 2x

− x2

(1+ x2 )2

Вычисляем корни уравнения f ′(x)= 0 :

1−x2

= 0 →1−x2 =

0 →

= ±1.

(1+ x2 )2

(1,2)

Получили две стационарные точки (I = {1, 2}) :

x(1)=1, x(2)= −1.

Определяем характер стационарных точек.

Находим вторую производную f(x):

f ′′(x) =

− 2x(1+ x2 )2 − 2(1+ x2 )2x(1− x2 )

2x(x2 − 3)

(1+ x2 )4

(1+ x2 )3

Вычисляем значение f ′′(x) в точкеx(1) :

diplomconsult.ru